Sunt un soldat in armata cunoasterii.Mi-e sete de dreptate, de adevar si le caut in tot universul!

miercuri, 25 martie 2009

Numarul de aur


Cunoscut inca din antichitate de vechii intelepti, iar apoi in Evul Mediu de marii invatati, filozofi, preoti, alchimisti sau ocultisti, numarul de aur a ascuns intotdeauna mari mistere pe care oamenii au incercat rand pe rand sa le descopere, incantati fiind de proprietatile neobisnuite pe care acesta le avea. 
         De-a lungul timpului s-au scris numeroase carti in care oamenii de stiinta incercau sa arate insemnatatea numarului de aur si a proportiei divine, atat din punct de vedere matematic, cat si din alte puncte de vedere total diferite de preocuparile stiintifice. Si toate acestea pentru a strange cat mai multe date si informatii care sa ne faca sa intelegem ce se ascunde in spatele acestui numar...”de aur!”
         Dar care este de fapt acest numar „de aur” si de ce il numim asa? Cu ce este el diferit fata de celelate numere? 
         Numarul de aur este acel numar care-i mai mic decat patratul sau cu exact o unitate. Sau altfel spus este solutia ecuatiei x2-x-1 = 0. Valoarea lui este de aproximativ 1,618 si interesant este ca il regasim peste tot in natura, chiar si in proportiile constructiilor care ne inconjoara. El reprezinta cea mai armonioasa impartire, proportionare a figurilor geometrice pe care omul a descoperit-o pana in prezent.
         Intr-o carte publicata in 1854, scriitorul german Alfred Zillinger demonstreaza cum gatul imparte corpul uman intr-un raport egal cu numarul de aur si cum centrul de greutate al corpului omenesc, aflat la aproximativ doi centimetri sub buric, imparte toata inaltimea corpului dupa o sectiune egala cu numarul de aur. Hegel si Friedrich Schelling, cei doi mari filozofi germani, au introdus sectiunea de aur in studiile lor de estetica, iar Rafael Sanzio, marele pictor al Renasterii italiene, tinea seama de ratia medie si extrema in anatomia corpului omenesc.
        Totusi, numarul de aur a aparut cu mult mai devreme, in gravurile facute de oamenii preistorici in pesteri, gravuri care reprezentau cai, mamuti, bizoni sau reni. Cu siguranta ca ei nu aveau cunostinte despre proportii sau despre numarul de aur, dar respectau proportiile, executau la scara, desenau asemenea cu ceea ce vedeau in realitate si respectau legile simetriei. Odata cu aparitia civilizatiei sumeriene, in toate desenele si ornamentatiile au aparut si primele reguli si notiuni de geometrie descoperite de mintea omeneasca. Cu mult inainte de epoca de aur greceasca au fost astfel revelate metodele de constuctie a unui un cerc si, odata cu acesta, a poligoanelor regulate inscrise in el. Iar pentru constructia pentagonului regulat, asa cum ne arata si geometria de astazi, s-a folosit sectiunea de aur, inscriind intr-un cerc un decagon regulat convex si unind varfurile doua cate doua.
         Putem afirma, prin urmare, ca numarul de aur a avut un rol important in dezvoltarea geometriei, a matematicii si a stiintei in general si ca odata cu el omenirea a inteles ca matematica naturii este inca departe de a fi inteleasa.

Despre numãrul de aur (Pi si phi)

    Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai "plãcutã" împãrtire a acestui segment în
douã pãrti ? Unii ar spune cã în douã jumãtãti, altii ar spune cã în proportie de 3:1.Grecii antici au gãsit un rãspuns pe care ei îl considerau corect
(teoreticienii îl numesc "simetrie dinamicã"). Dacã pãrtii stângi a
segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptã va avea o
lungime v=0,618... Despre un segment partitionat astfel spunem cã este
împãrtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divinã).
    Care este justificatia pentru înzestrarea acestei proportii
particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este cã lungimea u
reprezintã aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cât reprezintã
lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :
    Dacã notãm F=u/v, vom rezolva ecuatia pentru F, observând cã :
    Rãdãcina pozitivã a ecuatiei, care se poate scrie
    F^2 - F - 1 = 0
este o constantã care este numitã Numãrul de aur sau Proportia divinã.
    Dacã presupunem u=1, atunci, cum am presupus mai devreme. Notãm numãrul v = 0.6180339887... = F(phi).

Numãrul de aur si Fibonacci

    Afirmãm cã numãrul nostru Phi este strâns legat de sirul lui
Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit
prin :f[0]=0; f[1]=1; f[n]= f[0]+ f[1] (oricare n32).
    Acest sir exprimã (într-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri.
Se presupune cã iepurii au câte doi pui o datã la fiecare lunã dupã ce
împlinesc vârsta de douã luni. De asemenea, puii nu mor niciodatã si
sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.
    În felul acesta, numãrul de perechi de iepuri existente dupã n luni ar
trebui sã fie f--[n]. Vã puneti întrebarea ce poate avea în comun F cu
sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabilã a matematicii.
Pentru început sã observãm cã F este o fractie infinitã.Acum sã privim fractiile partiale :
Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci
succesive, fapt ce "motiveazã" teorema ce spune cã :
    În cuvinte putem spune cã, pe mãsurã ce n se apropie de infinit,
raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se
apropie de F. Aceastã teoremã este valabilã pentru orice secventã
arbitrarã ce satisface recurenta :f[n]= f[0]+ f[1] (oricare n32), cu proprietatea cã primii doi termeni
sunt diferiti.

Reprezentare graficã - dreptunghiuri de aur

Legãtura geometricã dintre numãrul Phi si numerele lui Fibonacci poate
fi vãzutã in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur
(de lungime F si lãtime 1), urmeazã un sir natural de "cuibãriri" ale
dreptunghiurilor divine în cel initial.

    Lungimea si lãtimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise
ca expresii liniare, unde coeficientii sunt întotdeauna numere
Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi înscrise într-o spiralã
logaritmicã, asa cum aratã imaginea. Sã presupunem cã punctul din
coltul din stânga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem
rectangular de coordonate. Apare acum întrebarea : unde se aflã
punctul spre care tinde spirala?
    Raspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate
    Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, în sensul cã orice
dreaptã ce trece prin punctul 0x01 graphic
taie spirala sub un unghi constant. În sensul acesta, spunem cã
spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900.
Spirala noastrã are un unghi
    Spiralele logaritmice se întâlnesc destul de des si în naturã. De
exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au
formã de spiralã.
    Altã aplicatie geometricã a numãrului Phi apare la desenarea unui
pentagon regulat fãrã cerc si compas. Aceasta este legatã de faptul cã

Câteva curiozitãti despre Phi si phi
    Un prim fapt ce "sare în ochi" si este cel putin curios îl constituie
relatia simplã între F, p si e :
   Pare într-adevãr ciudat cum trei numere irationale se "leagã" printr-o
expresie atât de simplã, însã matematicienii au demonstrat cã asa stau
lucrurile si vrem nu vrem trebuie sã-i credem. Cine nu crede poate
folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu
vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.
    Coincidentele nu se opresc însã aici. Sã considerãm urmãtorul sir :
f[0]=0.6180339887...;

f[1]=1.000;

f[0]=1.6180339887... ;
f[0]=2.6180339887...;
………………………………….;
f[n]= f[0]+ f[1] (oricare n32).
    Din definitia sirului se observã cã oricare doi termeni consecutivi
adunati îl dau ca rezultat pe urmãtorul. Este însã nevoie de un ochi
ager pentru a observa cã prin înmultirea oricãrui termen cu
F=1.6180339887... va rezulta termenul imediat urmãtor.
    Prezentãm acum câteva egalitãti simple cu F si f :
F^2 = F+1
F^n+2= F^n+1+ F^n
F^2= f +1
F^n+2= F^n+1+ F^n
Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale
1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417009395440962795589867872320951242689355730970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231889131929468962200230144377026992300780308526118075451928877050210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355620902979864247275977256550861548754357482647181414512700060238901620777322449943530889990950168032811219432048196438767586331479857191139781539780747615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368358358138113116899385557697548414914453415091295407005019477548616307542264172939468036731980586183391832859913039607201445595044977921207612478564591616083705949878600697018940988640076443617093341727091914336501371576601148038143062623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588092875703450507808145458819906336129827981411745339273120809289727922213298064294687824274874017450554067787570832373109759151177629784432847479081765180977872684161176325038612112914368343767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045982309255287212413704361491020547185549611808764265765110605458814756044317847985845397312863016254487611485202170644041116607669505977578325703951108782308271064789390211156910392768384538633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375843395367959312322134373209957498894699565647360072959998391288103197426312517971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910009086218029775637892599916499464281930222935523466747593269516542140210913630181947227078901220872873617073486499981562554728113734798716569527489008144384053274837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822619546861533120953357923801460927351021011919021836067509730895752895774681422954339438549315533963038072916917584610146099505506480367930414723657203986007355076090231731250161320484358364817704848181099160244252327167219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940283076687674363865132710628032317406931733448234356453185058135310854973335075996677871244905836367541328908624063245639535721252426117027802865604323494283730172557440583727826799603173936401328762770124367983114464369476705312724924104716700138247831286565064934341803900410178053395058772458665575522939158239708417729833728231152569260929959422400005606266786743579239724540848176519734362652689448885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499809360246178442675727767900191919070380522046123248239132610432719168451230602362789354543246176997575368904176365025478513824631465833638337602357789926729886321618583959036399818384582764491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634828178128862536460842033946538194419457142666823718394918323709085748502665680398974406621053603064002608171126659954199368731609457228881092077882277203636684481532561728411769097926666552238468831137185299192163190520156863122282071559987646842355205928537175780765605036773130975191223973887224682580571597445740484298780735221598426676625780770620194304005425501583125030175340941171910192989038447250332988024501436796844169479595453045910313811621870456799786636617460595700034459701135251813460065655352034788811741499412748264152135567763940390710387088182338068033500380468001748082205910968442026446402187705340100318028816644153091393948156403192822785482414510503188825189970074862287942155895742820216657062188090578088050324676991297287210387073697406435667458920258656573978560859566534107035997832044633634648548949766388535104552729824229069984885369682804645974576265143435905093832124374333387051665714900590710567024887985804371815126100440381488040725244061642902247822715272411208506578883871249363510680636516674322232776775579739927037623191470473239551206070550399208844260370879084333426183841359707816482955371432196118950379771463000755597537957035522714493191321725564401283091805045008992187051211860693357315389593507903007367270233141653204234015537414426871540551164796114332302485440409406911456139873026039518281680344825254326738575900560432024537271929124864581333441698529939135747869895798643949802304711696715736228391201812731291658995275991922031837235682727938563733126547998591246327503006059256745497943508811929505685493259355318729141801136412187470752628106869830135760524719445593219553596104528303148839117693011965858343144248948985655842508341094295027719758335224429125736493807541711373924376014350682987849327129975122868819604983577515877178041069713196675347719479226365190163397712847390793361111914089983056033610609871717830554354035608952929081846414371392943781356048203894791257450770755751030024207266290018090422934249425906066614133228722698069014599451199547801639915141261252572828066433126165746938819510644216738718000110042184830258091654338374923641183888564685143150063731904295148146942431460895254707203740556691306922099080481945297511065046428105417755259095187131888359147659960413179602094153085855332387725380232727632977372143127968216716234421183201802881412747443168847218459392781435474099999072233203059262976611238327983316988253931262006503702884478286669404473079471047612558658375298623625099982323359715507233838332440815257781933642626304330265895817080045127887311593558774721725649470005163667257715392098409503274511215368730091219962952276591316370939686072713426926231547533043799331658110736964314217197943405639155121081081362626888569748068060116918941750272298741586991791453499462444194012197858601373660828690722365147713912687420966513787562059185432888834174292090156313328319357562208971376563097850156315498245644586542479293572282875060848145335135218172958793299117100324762220521946451053624505129884308713444395072442673514628617991832336459836963763272257569159723954383052086647474238151107927349483695239647926899369832491799950278950006045966131346336302494995148080532901790297518251587504900743518798351183603272277260171740453557165885557829729106195819351710554825793070910057635869901929721799516873117556314448564810022001425454055429273458837116020994794572082378043687189448056368918258024449963187834202749101533579107273362532890693347412380222201162627711930854485029541913200400999865566651775664095365619789781838045103035651013158945890287186108690589394713680148457001836649564720329433437429894642741255143590584348409195487015236140317391390361644019845505104912116979200120199960506994966403035086369290394100701945053201623487276323273244943963048089055425137972331475185207091025063685981679530481810073942453170023880475983432345041425843140636127210960228242337822809027976596077710849391517488731687771352239009117117350918600654620099024975852779254278165970383495058010626155333691093784659771052975022317307412177834418941184596586102980187787427445638669661277245038458605264151030408982577775447411533207640758816775149755380471162966777100587664615954967769270549623939857092550702740699781408431249653630718665337180605874224259816530705257383454157705429216299811491750861131176577317209561565647869547448927132060806354577946241453106698374211379816896382353330447788316933972872891810366408326985698825443851667586228993069643468489751484087903964760420361020602171739447026348763365439319522907738361673898117812424836557810503416945156362604300366574310847665487778012857792364541852244723617137422925584159313561286637167032807217155339264632573067306391085410886808574283858828060230334140855039097353872613451196292641599521278931135443146015273090255382710432596622674390374556361228613907831943357059003814870089866131539819585744233044197085669672229314273074138488278897558886079973870447020316683485694199096548029824931981765792682985562972301068277723516274078380743187782731821191969528005160879157212882633796823127256287000150018292975772999357909491964076344286157571354442789838304045470271019458004258202120234458063034503365814721854920367998997293535391968121331951653797453991114942444518303385884129040181781882137600665928494136775431745160540938711036871521164040582193447120448277596054169486453987832626954801391501903899593130670318661670663719640256928671388714663118919268568269199527645799771827875946096161721886810945465157886912241060981419726861925547878992631535947292282508054251690681401078179602188533076230556381631640192245450325765673925997651753080142716071430871886285983603746505713420467008343275423027704779331118366690323288530687387990713590074030490745988951364768760867844323824821893061757031956380323081971936356727419643872625870615433072963703812751517040600505759488272385634515639052657710426459476040556950959840888903762079956638801786185591594411172509231327977113803294376547509016516949650991607383393771583323024570194834740007043761867199848340163182600846261965628464911822568885752134637549025418083382138352224525872678937950537591560357945469850910225622545500301757104946983348354532383526078709221930458178230601237075328067836854130658463678886643348624936801019878279963067025954326513780600738639290856483087415761874189734584845014188976529341101372215864355991552711362332200352667785915989023144616332102651966590763206152438374761904953158296883626504209484010565458913062982771724980964195947234046511041982134768935401803825695495628603924426415986748598228006035386283916620125282660749330619658496519997941939322601723571073364253708303301143362498575363597042444647599899995085504135497755858593457659092653330725277541675843146693676780617035012003844874883823376034407751594778122188307090008738662736209166079905022698927032189976037950989059108591039296734561461070030458192127389259926961062116764364243835014102040863214991781529796815223798322427375365700855346997965541385905032683616022278847554706269843910885210302076860470680455684656049168649886061622295232390709809262930233795648217998163264582788887767452084637197106347892310667546935504761519778169902588184040792751090182448278705250597698375351430622445090220238243982312550584162320718831930069360646468209659500654929010971618652636721610741713618377667332797562685480124565768279031760394655539452314338756773034979157858859101166374845567584795271391860878254010423332985744274711896961048512640197504359909207662155899866073683762318835884508129295011466535482817144846405686524654090781547161962578446957526256945516560151916402921798854890937328031465192224759003096571549050536104377686877261915952844920464786897347370859841384513162119297201263424077369454598186502965923353451256845497454112981973587667072860161605620423063606613028149677344579773775055756466547525632264817711699785708712283154310456912326250349768115245217449739613674882204648051968875434196951193312045021605142938484475452382127014383095785581361967830231068508084587695205905329468338490471209916255636503400343967082893369836742300157511738515126912306617227641442160751291734187471431509324192491416096999867281582385925735982389484927491964615227227333874631213843626211637946706203263022505548958057308375046129923113629917306948940734258831948399927416395098443963405763528471756276219278652253960872013108048640653439616887545253426309896951761901977096319225870934216595597447175015753837674152228057065028068314335652491719973335840306415355075911597426436648284662813680217450590970589460274429263222221545945075804657120606863990430823693969320823749076756119017156130542481331171524256847846336377001520441791650116823257523616049574970639082244344451035121904881983027600176680985096524543900719909803499302686067552387968529219473239335237008665022140746455403722234348167574937314464092837900653919677401035586193618156683661686489239555496145282647289499416061580304586789146197172815545110005666054249969197410279874059327643495371452516769462069859788094695017473022841427571887194092120913799405943037050436483860043464522799330292390186592268987499211325656055784014233542605895105620369072028939315920440476835927636479960059640486076198915929819495087878602766345990540426377004590080327943472062982544525635647954299248819864613617131448577346995347557715549138423928940175403413997384616948129347924223460974301962752301382860722449638095383840152656781976450758854785515549234523478164603306293884200995080326014091830257438577067102522724366690598890854501557075423031666592472352892470258862479488754625276572728515111287827067345431024451523345654228431103967952829625019369893998347396176398809573541526014537296468147382184360052109947211941659149471670520379225520963364584846804144778030216472862399926404836350877374782450163820089524032253437992579012926564015553775409175170441962728503912669595666487724296766036730345366873404907914188694521471582790815723396912403998586939085517307980195554612851340891206108401221361707057043006056924685591646883477332085689141267942844804138468281325692914816010978627269686686737391711893146226913489458042778989960814470952476290501926031164920686774331866154696689660182266357878875060885624356267893279735463390418210877463803921624477202567269959639182468778845549717903851583920474831990312762243706623509251877543414010711233586590774812206376345901988422547272765529050439950252444039113658267081330058058820946031020826134136912757293699289302996173089284367031523858975398738893680744152637379424050644876417176861355234326986572897046306918017427797217388985944328485205725758833756382015054672065167425268189485167332804630764781329313260289322936604521021318981298766152624448748669389040617846991666541748508459797014617821584501491957210982508923451747451225432738681972586494458808377139868506598408545773165416917406705211194916628633773226375347566637002212032752438999773600607404270297220363477804829883485518952507947460551994034011077116972564426100509205984336253584706959718576261677663021174787834197564450183804102920324040882661734433909026352235050682858285443283961848092537613082011562686990799911708475558698215031007356324042198856958420068243992695378440320222237462814765923060554747693683057654967769047115962550247450780962483744990802561375091562235908101053449394177429427709144516666870041522854463807661535114155648785493601138747310382877331338839170964617482906315678806518276176579853502166599860746401267488412113009854993833710603196250670279752431011937733554853701169467485888836308033328773957165627534036727218070562256232637414883349928997025897729922403694175074342731419415743246679457858603989407509735636368881567215967635438066559393893438207598406121606431766442190267777379914557994503146870871626622652413359056992849400637274490882163524294802256633045855363633725176204907462406293896239062203042487268843237763173357420575399757437350840965779218088008942059066257278230769278865644556375801266728095252737982803007663697692816484465127747382239706173856750714669274822037488112256399407522762646499465846367401955997370283839311988482233553996497833316500846749125452295651240939096378409541690123467537528013908083086302265335238706927307198465464945497910113428715463669554343746215439188652608536697436653058856216441164806891283735779434153060947845727098703797692134620596953884382676082765918177362766991872780375421995417242833579106452061373688470854516582219315864537701831340181882725109992291761471186052917655142288112356621724169268062064884531761516427295358579837541237587610041547580559573012245927671189527733382335604337420132139280431705337946364642835199301457670649184770776895988542164797337176962594393864807489363320109889364352832449413256931743832350925828642127620947343287998438719829162503588636885744089609161976755302363614784018627182770889136039893307729306029671776025841803013347547440609321822266207705984247608263794138859860193520895982194188572382371427193034935451824011267104607309741268127907272643868568154472914482676138994509206409879264769257469881233464299526730823740572040614374870086704861259959017842497684584473682482794782475317633817481479957103120339634522674341512372232245462654632835356424662778646083987217912784308964163642223715282219986085060015824516947831892606016582749114277493350286550372769106810755782646334039921922260220859096784186001385965387726582624465759769406924054180444473847160790144974301805588933762376129691822923476845375955646842112269873163750624997118229148568960447252776009393434355833919516513298562364589314910186084968348033809093273626106205479597042129866988357356040434712839980124980220946685109349040787845010211768427634507913768760974690066575968304351926667656396092264884567021285074482118483610290768919649340230064175317348391475891667202306924534710762771979252499732857689038868014178031379948365108952722094659130450665665825853917469048687264990254676596659916454736513425975557739734850652843997738449051390582943013000836696145566974853779340788127721579148721071925886908927787873298298221457423327326598798275695089884530624022303648634772296705652412703588783028194007498057543901628578674553132719765260710764315311239152607721936214434609608975872693422367433161371857457760811775151806966210479558514013006970184500702629047949257083712017527937855495762739124558714833201017036184052163681801734142508980616063467633085050418458581662933409347919910368591305378948215865170118121011333000669577523278668551807825675283614949492074583733684581369140797759592526727396642347874661439981964808103670506600523826916505514463471111686742817731950256064295163795965947564498789146144692593662930936480481617405980821425434052521137133240811391357997162285810141910341046056929078249895621456004104569222141683089323666251761869627171945385499855148427517336924120268015992808320145830075448474233126438780847808505610430490999936434590519518749484369677275747335967088334960915744743575039860201639766611427653695267044115520019391484293460101512953117445887648307037167739615426559139908303757766302130990871271988706903293047012410586150639985299814175780430348080358820320201104760700475571016942341203410891564394782530316459373043755819468675253495323013027678235356011664131117799609979366204344956968354793075431132755864318973151517106443218924979327780126496476447546707816580740613125937527184740881611547981830781675104780929141395456463116058126905175395355691577558041067198123163840527755605227222376471188323322309958506897101871750478190653349485842325976225657584189852914471783351732260298578629294346505636693216262767381624595741793269889232722066663608199249098883146852994099138673444604967084244297824363023293891035596560173994220198869025724547140163300961214618720836510868818533406062201709951582707044233704218017669634913369599606432200532887349489313596603042438080456594474333567831672703729636367594216999379522 

Niciun comentariu:

 
Director Web Euroghid

Christian B. Date 25.07.2008 Bucuresti Romania